Curso de Análise Real - Cassio Neri e Marco Cabral

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Curso de An´alise Real

Segunda Edi¸c˜ao V2.4 — Dezembro de 2011

Cassio Neri Moreira

Doutor em Matem´atica pela Universit´e Paris Dauphine – Fran¸ca

Marco Aur´elio Palumbo Cabral

PhD em Matem´atica pela Indiana University — EUA

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 Sum´ario

Sobre os Autores v

Pref´acio vii

1 No¸c˜oes de Teoria dos Conjuntos 1

1.1 Conjuntos e opera¸c˜oes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 ⋆ Teoria dos conjuntos ´e f´acil? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Fun¸c˜oes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Fam´ılias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Exerc´ıcios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.1 Conjuntos e opera¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.2 Fun¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5.3 Fun¸c˜oes entre conjuntos de fun¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 N´umeros naturais, inteiros e racionais 15

2.1 Naturais, inteiros e indu¸c˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Cardinalidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 ⋆ O Hotel de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4 Racionais: opera¸c˜oes, enumerabilidade e ordem. . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5 ⋆ Corpos Arquimedianos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.6 Exerc´ıcios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.6.1 Naturais, inteiros e indu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.6.2 Cardinalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.6.3 Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 N´umeros reais 35

3.1 Descoberta dos irracionais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2 ⋆ Cortes de Dedekind. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3 N´umeros reais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4 Exerc´ıcios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.4.1 Irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.4.2 ⋆ Cortes de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.4.3 N´umeros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

ixx SUMARIO ´

4 Sequˆencias e s´eries 53

4.1 Sequˆencias convergentes e subsequˆencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2 Sequˆencias mon´otonas, limitadas e de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3 Limites infinitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.4 Opera¸c˜oes com limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.5 Limite superior e limite inferior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.5.1 Defini¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.5.2 ⋆ Quase Cota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.5.3 ⋆ Valor de Aderˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.6 S´eries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.7 ⋆ A s´erie dos inversos dos primos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.8 Exerc´ıcios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.8.1 Sequˆencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.8.2 S´eries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5 Constru¸c˜ao dos conjuntos num´ericos 81

5.1 Rela¸c˜ao de equivalˆencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.2 Constru¸c˜ao dos conjuntos num´ericos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.2.1 Constru¸c˜ao de N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.2.2 Constru¸c˜ao de Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.2.3 Constru¸c˜ao de Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.2.4 Constru¸c˜ao de R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.2.5 Constru¸c˜ao de C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.2.6 Outros corpos (quat´ernios e octˆonios). . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.3 Exerc´ıcios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6 Topologia de R 89

6.1 Introdu¸c˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.2 Conjuntos abertos e conexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.3 Conjuntos fechados e discretos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.4 Conjuntos compactos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.5 Conjuntos densos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.6 Exerc´ıcios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.6.1 Conjuntos abertos, conexos, fechados e discretos . . . . . . . . . . . 96

6.6.2 Conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.6.3 Conjuntos densos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7 Limite e continuidade 101

7.1 Limite de fun¸c˜oes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.2 Fun¸c˜oes cont´ınuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7.3 Fun¸c˜oes cont´ınuas em conexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

7.4 Fun¸c˜oes cont´ınuas em compactos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

7.5 ⋆ Pontos fixos para fun¸c˜oes cont´ınuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.6 Exerc´ıcios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114SUMARIO ´

xi

7.6.1 Limite de fun¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

7.6.2 Fun¸c˜oes cont´ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

7.6.3 Fun¸c˜oes cont´ınuas em conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

7.6.4 Fun¸c˜oes cont´ınuas em compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

8 Derivada 119

8.1 Derivada e propriedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

8.2 Extremos locais e o Teorema do Valor M´edio. . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

8.3 F´ormulas de Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

8.4 ⋆ M´etodo de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

8.5 ⋆ Regras de l’Hospital. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

8.6 Exerc´ıcios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

8.6.1 Derivada e propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

8.6.2 Extremos locais, TVM e Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

8.6.3 ⋆ Newton e l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

9 Integral de Riemann 139

9.1 Somas superiores e inferiores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

9.2 Integral e propriedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

9.3 Teoremas Fundamentais do C´alculo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

9.4 ⋆ A constante π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

9.5 Mudan¸ca de vari´aveis e integra¸c˜ao por partes. . . . . . . . . . . . . . . . . 153

9.6 Medida nula e Teorema de Lebesgue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

9.7 Exerc´ıcios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

9.7.1 Integral e propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

9.7.2 Teoremas Fundamentais do C´alculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

9.7.3 Medida nula e Teorema de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

10 Sequˆencias de fun¸c˜oes 163

10.1 Convergˆencia simples e uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

10.2 Continuidade, integral e derivada de sequˆencias de fun¸c˜oes. . . . . . . . . . 165

10.3 Espa¸co C(K) e equicontinuidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

10.4 ⋆ Equa¸c˜oes diferenciais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

10.5 ⋆ Logaritmo e exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

10.6 ⋆ Seno e cosseno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

10.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

10.7.1 Convergˆencia simples e uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

10.7.2 Equicontinuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

10.7.3 Outros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Bibliografia 183

´Indice 185

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