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Sumário
Sobre os Autores iii
Agrade
imentos v
Prefá
io vii
1 Introdução à Álgebra Linear 1
1.1 Vetores e Operações Bási
as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Vetores do R
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Operações em R
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Espaços Gerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 De nições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Espaço Gerado por 1 Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Espaço Gerado por 2 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.4 Espaço Gerado por 3 ou Mais Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Exer
í
ios de Introdução à Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.1 Exer
í
ios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Sistemas Lineares 21
2.1 Apli
ações de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Interpretação Geométri
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.1 Na Reta (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.2 No Plano (R
2
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Operações Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Es
alonamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5 Resolvendo Sistema após Es
alonamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6 Produto Matriz-Vetor e Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.7 Casos Espe
iais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.7.1 Sistemas Homogêneos, Solução Geral e Parti
ular . . . . . . . . . . 44
2.7.2 Mesma Matriz de Coe
ientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.8 Exer
í
ios de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.8.1 Exer
í
ios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.8.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.8.3 Desa os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.8.4 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
xixii SUMÁRIO
3 Espaços Vetoriais 53
3.1 De nição e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 Combinação Linear e Espaço Gerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3 Dependên
ia e Independên
ia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4 Base e Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.5 Dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.6 Exer
í
ios de Espaços Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.6.1 Exer
í
ios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.6.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.6.3 Desa os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.6.4 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4 Transformações Lineares 79
4.1 Fundamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2 Nú
leo e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3 Composição e Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.4 Exer
í
ios de Transformações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.4.1 Exer
í
ios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.4.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.4.3 Desa os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.4.4 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5 Matrizes 97
5.1 De nições e Operações Bási
as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2 Nú
leo e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.3 Produto e Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.4 Matriz em Blo
os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.5 Transformações Geométri
as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.6 Mudança de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.7 Exer
í
ios de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.7.1 Exer
í
ios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.7.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.7.3 Desa os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.7.4 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6 Determinante 121
6.1 Motivação Geométri
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.1.1 R
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.1.2 R
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.2 De nição e Propriedades Bási
as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.3 Como Cal
ular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.4 Mais Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.5 Apli
ações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.5.1 Transformações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.5.2 Mudança de Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.6 ⋆Sinal do Determinante em R
2
e R
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.7 ⋆Fórmula de Lapla
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.8 ⋆Regra de Cramer e Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.9 Exer
í
ios de Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145SUMÁRIO xiii
6.9.1 Exer
í
ios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.9.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.9.3 Desa os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.9.4 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7 Autovalores, Autovetores e Diagonalização 155
7.1 Autovalores e Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.2 Diagonalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.3 Exemplos Geométri
os em 2D e 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7.4 Apli
ações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.5 ⋆Multipli
idade Algébri
a e Geométri
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
7.6 Exer
í
ios de Autovalores, Autovetores e Diagonalização . . . . . . . . . . . 172
7.6.1 Exer
í
ios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.6.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.6.3 Desa os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7.6.4 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
8 Produto Interno 181
8.1 Produto Interno em R
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
8.2 Produto Interno em Espaços Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8.3 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.3.1 De nições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.3.2 Projeções Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
8.4 Mínimos Quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
8.5 ⋆Cau
hy-S
hwarz e Ângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.6 ⋆Pro
esso de Ortogonalização de Gram-S
hmidt . . . . . . . . . . . . . . . 200
8.7 Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
8.7.1 Exer
í
ios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
8.7.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
8.7.3 Desa os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8.7.4 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
A Notação 213
A.1 Bási
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
A.2 Espaços . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
A.3 Bases e Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
A.4 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
A.5 Produto Interno e Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
B Respostas dos Exer
í
ios 215
B.1 Introdução à Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
B.1.1 Exer
í
ios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
B.1.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
B.1.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
B.2 Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
B.2.1 Exer
í
ios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
B.2.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
B.2.3 Desa os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
B.2.4 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218xiv SUMÁRIO
B.3 Espaços Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
B.3.1 Exer
í
ios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
B.3.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
B.3.3 Desa os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
B.3.4 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
B.4 Transformações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
B.4.1 Exer
í
ios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
B.4.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
B.4.3 Desa os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
B.4.4 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
B.5 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
B.5.1 Exer
í
ios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
B.5.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
B.5.3 Desa os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
B.5.4 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
B.6 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
B.6.1 Exer
í
ios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
B.6.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
B.6.3 Desa os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
B.6.4 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
B.7 Autovalores, Autovetores e Diagonalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
B.7.1 Exer
í
ios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
B.7.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
B.7.3 Desa os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
B.7.4 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
B.8 Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
B.8.1 Exer
í
ios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
B.8.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
B.8.3 Desa os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
B.8.4 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
Referên
ias Bibliográ
as 243
Índi
e Remissivo 244
*# Saber na Boa Downloads #*
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