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Sumario ´
Sobre o Autor iii
Agrade
imentos v
Prefá
io vii
1 Limite 1
1.1 Softwares Gratuitos e o Cál
ulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 De nição de Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Limites e In nito: Assíntotas Verti
ais e Horizontais . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Indeterminações do Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5 Esboço de Grá
os (parte I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6 Limites Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.7 Exer
í
ios de Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.7.1 Exer
í
ios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.7.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.7.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.7.4 Desa os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2 Continuidade 49
2.1 De nição de Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2 Teorema do Valor Intermediário (TVI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3 ⋆Construção e Continuidade de Funções Trans
endentes e Raiz . . . . . . . 56
2.3.1 Função Raiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3.2 Funções Exponen
ial e Logarítmi
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3.3 Funções Trigonométri
as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.3.4 Funções Hiperbóli
as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.3.5 Outras Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.4 ⋆Introdução à Análise Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.4.1 Cardinalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.4.2 O que é R? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.4.3 Ra
ionais, Irra
ionais, Algébri
os, Trans
endentes . . . . . . . . . . . 62
2.4.4 De nição de Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.4.5 De nição de Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.5 Exer
í
ios de Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.5.1 Exer
í
ios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.5.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.5.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.5.4 Desa os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
xixii SUMÁRIO
3 Derivada 69
3.1 De nição de Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2 Derivada de Funções Trans
endentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3 Propriedades Bási
as da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.4 Derivada da Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.5 Teorema do Valor Médio (TVM): Cres
imento e De
res
imento . . . . . . . 82
3.6 Derivada da Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.7 Exer
í
ios de Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.7.1 Exer
í
ios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.7.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.7.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.7.4 Desa os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4 Apli
ações da Derivada 99
4.1 L'Hospital e Hierarquia dos In nitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2 Aproximando Função Lo
almente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.3 Máximo e Mínimo Lo
al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.4 Esboço de Grá
os (parte II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.5 Máximo e Mínimo em Intervalos: TVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.6 Problemas de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.7 ⋆Taxas Rela
ionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.8 ⋆Derivação Implí
ita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.9 Exer
í
ios de Apli
ação de Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.9.1 Exer
í
ios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.9.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.9.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.9.4 ⋆Problemas (Taxas Rela
ionadas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.9.5 ⋆Problemas (Derivação Implí
ita) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.9.6 Desa os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5 Integral 145
5.1 De nição de Integral e Propriedades Bási
as . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.2 Teoremas Fundamentais do Cál
ulo (TFCs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.3 Integrais Impróprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.4 Té
ni
as Bási
as de Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.4.1 Integração por Substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.4.2 Integração por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.5 Integração Trigonométri
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.6 ⋆Substituição Trigonométri
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.7 ⋆Integração de Funções Ra
ionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.8 ⋆Teoria da De
omposição por Frações Par
iais . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.9 Exer
í
ios de Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5.9.1 Exer
í
ios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5.9.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
5.9.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.9.4 ⋆Problemas (Integração e Substituição Trigonométri
a) . . . . . . . . . 178
5.9.5 ⋆Problemas (Integração de Funções Ra
ionais) . . . . . . . . . . . . . 178
5.9.6 Desa os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179SUMÁRIO xiii
6 Apli
ações da Integral 183
6.1 Área no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.2 Volume de Sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6.3 Valor Médio de Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
6.4 ⋆Comprimento de Curvas no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6.5 ⋆Área de Superfí
ie de Sólido de Revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
6.6 ⋆Transformada de Lapla
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
6.7 ⋆Série de Fourier e MP3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
6.8 Exer
í
ios de Apli
ações da Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
6.8.1 Exer
í
ios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
6.8.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
6.8.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
6.8.4 ⋆Problemas (Comprimento de Curvas no Plano) . . . . . . . . . . . . . 207
6.8.5 ⋆Problemas (Área de Superfí
ie de Sólido de Revolução) . . . . . . . . 207
6.8.6 Desa os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
A Respostas dos Exer
í
ios 209
A.1 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
A.1.1 Exer
í
ios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
A.1.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
A.1.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
A.1.4 Desa os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
A.2 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
A.2.1 Exer
í
ios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
A.2.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
A.2.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
A.2.4 Desa os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
A.3 Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
A.3.1 Exer
í
ios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
A.3.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
A.3.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
A.3.4 Desa os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
A.4 Apli
ação de Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
A.4.1 Exer
í
ios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
A.4.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
A.4.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
A.4.4 ⋆Problemas (Taxas Rela
ionadas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
A.4.5 ⋆Problemas (Derivação Implí
ita) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
A.4.6 Desa os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
A.5 Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
A.5.1 Exer
í
ios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
A.5.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
A.5.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
A.5.4 ⋆Problemas (Integração e Substituição Trigonométri
a) . . . . . . . . . 247
A.5.5 ⋆Problemas (Integração de Funções Ra
ionais) . . . . . . . . . . . . . 248
A.5.6 Desa os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
A.6 Apli
ações da Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
A.6.1 Exer
í
ios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
A.6.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251xiv SUMÁRIO
A.6.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
A.6.4 ⋆Problemas (Comprimento de Curvas no Plano) . . . . . . . . . . . . . 255
A.6.5 ⋆Problemas (Área de Superfí
ie de Sólido de Revolução) . . . . . . . . 255
A.6.6 Desa os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
Bibliogra a 2
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