Por que fatorial de zero é 1?

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 Para responder Por que fatorial de zero é 1? poderíamos simplesmente dizer (como fazem a maior parte daqueles que apresentam o conceito) que é igual a 1 por definição.

Mas há um motivo lógico para se fazer esta definição e é isto que pretendemos apresentar nesta postagem.

Em geral o conceito de fatorial aparece quando estamos a trabalhar com permutações. Ele é, a princípio, definido para números maiores do que zero:

E de um modo mais geral:

Em uma primeira vista, no contexto em que o conceito aparece, não faz sentido pensar em 0! pois como poderíamos pensar em calcular permutação de objeto nenhum?

Prosseguindo no estudo de análise combinatória deduz-se diversas fórmulas, dentre as quais figura aquela que calcula o número de combinações simples:

O termo combinação mencionado acima significa agrupamentos formados com os elementos de um determinado conjunto. A fórmula se refere ao número de agrupamentos diferentes, com p elementos cada, que se pode formar a partir de um conjunto que possui n elementos.

Assim, por exemplo, dado o conjunto de três elementos {A,B,C} podemos formar:

• 3 agrupamentos com 2 elementos cada (ou seja, combinação de 3elementos, tomados 2 a 2 é igual a três):

AB

AC

BC

Deve-se notar que quando o assunto é combinações a ordem dos elementos não importa, ou seja, BC é o mesmo que CB.

• 3 agrupamentos com 1 elemento cada (ou seja, combinação de 3 elementos, tomados 1 a 1 é igual a três):

A

B

C

• 1 único agrupamento com 3 elementos (ou seja, combinação de 3 elementos, tomados 3 a 3 é igual a um):

ABC

Deve-se notar, como já dito, que a ordem dos elementos não importa, ou seja,ABC é o mesmo que CAB.

A fórmula acima "funciona bem" para seu "propósito original", ou seja, sempre que n > p, mas vejamos o que acontece se formos utilizá-la para o caso em que n = p:

Ora, não podemos efetuar o cálculo, pois não sabemos quanto vale 0! (pois ainda não foi definido). 

Mas já vimos que a combinação de 3 elementos, tomados 3 a 3 é 1. É possível ver que este resultado vale para qualquer que seja o número de elementos do conjunto, ou seja, combinação de n elementos tomados n a n é sempre igual a 1 (de fato, quantos modos há de pegar todos os elementos de um determinado conjunto de uma única vez? Lembrando que a ordem dos elementos não importa podemos afirmar que há apenas uma maneira). Então podemos escrever:

Mas aplicando a fórmula tinhamos concluído que 

Segue-se destes dois últimos resultados que: se queremos que a fórmula para o cálculo de combinação continue válida para quando n é igual a p, temos que definir 0! de modo que seja válida a seguinte igualdade:

Analise a equação acima e convença-se de que a única definição possível que preserva sua validade é:

Em matemática, ao se estender um conceito para além do campo de definição original a intenção é que todas as regras e fórmulas já conhecidas continuem válidas. Isto é o que acaba de ocorrer: define-se zero fatorialconvenientemente como sendo igual a um, pois esta atitude preserva a validade de alguns resultados já conhecidos (no nosso exemplo, a validade da fórmula de combinação). 

É semelhante ao que ocorre com a definição a⁰ = 1 discutida em postagem anterior: estender o conceito preservando a validade de resultados anteriores.

Referência:

Videoaula do PAPMEM: 23-07-10 - 10:45 - 12:00 - Professores (em particular Paulo Cezar Pinto Carvalho)

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