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Introdução à Álgebra Abstrata – Jaime Evaristo/Eduardo Perdigão
Jaime Evaristo
Mestre em Matemática
Professor Adjunto
Instituto de Computação
Universidade Federal de Alagoas
Eduardo Perdigão
Doutor em Matemática
Professor Aposentado
Instituto de Matemática
Universidade Federal de Alagoas
Introdução à Álgebra
Abstrata
Segunda Edição
Formato Digital/Versão 02.2012
Maceió, fevereiro de 2012
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Sumário
Prefácio (da primeira edição)...............................................................................................................5
Prefácio (da atual edição).....................................................................................................................6
1. Conjuntos e Funções.........................................................................................................................7
1.1 Entes primitivos ........................................................................................................................7
1.2 Conjuntos ..................................................................................................................................7
1.3 Igualdade....................................................................................................................................7
1.4 Subconjuntos..............................................................................................................................8
1.5 Uma representação de conjuntos...............................................................................................8
1.6 As expressões “se … então” e “se e somente se”......................................................................9
1.7 Igualdade de conjuntos..............................................................................................................9
1.8 Par ordenado e produto cartesiano...........................................................................................10
1.9 Relações binárias.....................................................................................................................10
1.10 Funções..................................................................................................................................12
1.11 O Conjunto Vazio...................................................................................................................13
1.12 Operações ..............................................................................................................................14
1.13 Operações com predicados (operações lógicas)....................................................................15
1.14 Demonstração por redução ao absurdo (prova por contradição)...........................................17
1.15 Operações com conjuntos......................................................................................................17
1.16 Uma operação com funções...................................................................................................18
1.17 Funções inversíveis................................................................................................................19
1.18 Exercícios...............................................................................................................................21
2. Os números naturais.......................................................................................................................24
2.1 Axiomas, teorias axiomáticas, objetos construídos axiomaticamente.....................................24
2.2 O conjunto dos números naturais.............................................................................................24
2.3 Operações no conjunto dos números naturais..........................................................................25
2.4 Equações no conjunto dos números naturais...........................................................................29
2.5 Uma relação de ordem no conjunto dos números naturais......................................................30
2.6 Conjuntos finitos......................................................................................................................32
2.7 Exercícios.................................................................................................................................33
3. Os números inteiros........................................................................................................................35
3.1 Introdução................................................................................................................................35
3.2 Anéis........................................................................................................................................35
3.3 Elementos inversíveis..............................................................................................................40
3.4 Igualdade de anéis: anéis isomorfos .......................................................................................40
3.5 Domínios de integridade..........................................................................................................41
3.6 Anéis ordenados.......................................................................................................................42
3.7 Domínios bem ordenados........................................................................................................43
3.8 O conjunto dos números inteiros.............................................................................................44
3.9 Inversibilidade no domínio dos inteiros...................................................................................48
3.10 Sequências estritamente decrescentes de inteiros .................................................................49
3.11 Os naturais e os inteiros.........................................................................................................50
3.12 Exercícios...............................................................................................................................50
4. Algoritmos......................................................................................................................................54
4.1 Introdução................................................................................................................................54
4.2 Exemplos.................................................................................................................................55
4.3 Exercícios.................................................................................................................................57
5. Representação dos números inteiros: sistemas de numeração........................................................58
5.1 Introdução................................................................................................................................58
3Introdução à Álgebra Abstrata – Jaime Evaristo/Eduardo Perdigão
5.2 A relação b divide a..................................................................................................................58
5.3 Divisão euclidiana....................................................................................................................59
5.4 Sistemas de numeração............................................................................................................60
5.5 Somas e produtos de inteiros...................................................................................................62
5.6 Aplicações à computação.........................................................................................................64
5.6.1 Representação de caracteres em computadores...............................................................64
5.6.2 Representação de inteiros em computadores ..................................................................65
5.6.3 Divisão por dois em computadores..................................................................................66
5.6.4 Um algoritmo rápido para potências................................................................................66
5.7 Exercícios.................................................................................................................................68
6. Teorema Fundamental da Aritmética: números primos..................................................................70
6.1 Introdução................................................................................................................................70
6.2 Máximo divisor comum...........................................................................................................70
6.3 Inteiros primos entre si............................................................................................................72
6.4 Equações diofantinas...............................................................................................................73
6.5 Números primos.......................................................................................................................74
6.6 Fórmulas geradoras de primos.................................................................................................80
6.7 A Conjectura de Goldbach.......................................................................................................81
6.8 O Último Teorema de Fermat..................................................................................................81
6.9 Exercícios.................................................................................................................................82
7. Os inteiros módulo n......................................................................................................................84
7.1 Introdução................................................................................................................................84
7.2 A relação congruência módulo n .............................................................................................84
7.3 Uma aplicação: critérios de divisibilidade...............................................................................87
7.4 Duas mágicas matemáticas......................................................................................................87
7.5 Outra aplicação: a prova dos nove...........................................................................................88
7.6 Potências módulo n..................................................................................................................89
7.7 Os inteiros módulo n................................................................................................................90
7.8 Congruências Lineares.............................................................................................................93
7.9 A função Φ de Euler.................................................................................................................96
7.10 Uma aplicação: criptografia RSA..........................................................................................98
7.10.1 Introdução......................................................................................................................98
7.10.2 O sistema de criptografia RSA .................................................................................99
7.11 Exercícios.............................................................................................................................102
8. Os números inteiros: construção por definição............................................................................103
9. Os números racionais...................................................................................................................106
9.1 Introdução..............................................................................................................................106
9.2 O corpo de frações de um domínio de integridade................................................................106
9.3 Os números racionais.............................................................................................................108
9.4 "Números" não racionais.......................................................................................................110
9.5 Divisão euclidiana Parte II.....................................................................................................111
9.6 O algoritmo de Euclides - parte II..........................................................................................112
9.7 Exercícios...............................................................................................................................113
10. Os números reais.........................................................................................................................115
10.1 Introdução............................................................................................................................115
10.2 Sequência de números racionais..........................................................................................115
10.3 Os números reais..................................................................................................................117
Bibliografia.......................................................................................................................................121
Índice remissivo................................................................................................................................122
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