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O texto que se segue é uma versão adaptada de um problema matemático muito famoso, logo é possível que muitos o conheçam:
Em clima de Páscoa os irmãos Leonard, Isaac e Pierre resolveram comprar alguns ovos de chocolate. Cada um dos três contou o que tinha na carteira:
Leonard tinha 94,50 reais.
Isaac tinha 63 reais.
E Pierre tinha 21 reais.
Por comodidade, eles resolveram juntar todo o dinheiro e mandar apenas um dos irmãos até o supermercado. O total arrecadado foi, evidentemente, 178,50 reais.
Pierre se prontificou a ir buscar os ovos e seus irmãos concordaram. Chegando ao supermercado Pierre procurou pelos ovos mais baratos (e pequenos!). Ele notou que cada ovo, dos mais baratos, custava R$ 5,40 e como era muito ruim para fazer cálculos mentais acessou a calculadora de seu celular. Porém em vez de digitar 5,40 ele se confundiu e teclou 5,10 e conclui que poderia comprar exatamente 35 ovos.
Ele colocou os 35 ovos de páscoa no carrinho e se dirigiu até o caixa. Chegando lá o balconista lhe disse:
- São 35 ovos... cada ovo custa 5,40... o total é de 189 reais senhor!
- O que? Não é 178,50? Retrucou Pierre.
O balconista refez a conta e concluiu:
- Sinto muito senhor, mas o valor total realmente é 189 reais. Vai pagar a vista ou no cartão?
Pierre pegou a carteira e contou o dinheiro, apalpou os bolsos e após alguns segundos de constrangedor silêncio o balconista disse:
-Visto que o senhor está comprando vários ovos, acho que posso conceder-lhe um desconto... 5% está bom para o senhor?
Pierre tirou a calculadora do bolso, fez algumas contas e disse:
- Cinco por cento está quase bom... será que 178,50 reais paga?
O balconista fez um cálculo rápido e respondeu:
-Paga sim. Muito obrigado senhor. Volte sempre ao Hipermercado Manthano.
Pierre ficou aliviado e foi-se embora.
Ao chegar em casa era hora de dividir os 35 ovos entre os três irmãos.
Leonard perguntou:
Quantos ovos você trouxe? Qual foi o preço dos ovos?
Pierre disse:
- Bom, eu trouxe 35 ovos e o preço era de 5,40 a unidade, e...
Isaac, muito hábil em fazer contas, interrompeu e disse:
- Cada ovo custou 5,40 então o valor total dos ovos foi de 189 reais. Leonard deu 94,50 e portanto contribui com a metade do dinheiro. Eu dei 63 reais, ou seja, paguei 1/3 do valor dos ovos. E Leonard pagou 21 reais que representam 1/9 do valor total dos ovos. Então nada mais justo do que Leonard ficar com metade dos ovos, Isaac ficar com 1/3 e Pierre ficar com 1/9.
Os irmãos concordaram, mas ao tentarem efetuar a partilha perceberam que:
Metade de 35 é 17,5
Um terço de 35 é 11,66...
Um nono de 35 é 3,88...
Pierre disse:
- Já que eu que tive que ir buscar arredondamos a minha parte para mais, ou seja, eu posso ficar com 4 ovos e vocês dividem o resto...
Mas então Leonard exclamou:
- Se alguém tem que ter vantagem esse alguém sou eu, pois fui eu quem pagou a maior parte!
Isaac propôs:
- Podemos abrir alguns ovos e cortá-los, para tentar deixar a partilha mais justa...
Os outros dois irmãos instantaneamente discordaram, pois intencionavam presentear alguns amigos.
Quando a conversa se encaminhava para uma discussão mais séria chegou o pai dos rapazes e, brilhantemente, pôs fim à discussão:
-Bom, eu tenho um ovo sobrando aqui. Vocês se importam se eu coloca-lo junto aos 35 de vocês?
Leonard respondeu:
-Tudo bem desde que eu não fique com menos do que a metade que me cabe.
-Se eu não ficar com uma parte menor do que aquela que eu tenho direito também não me importo, disse Isaac.
-E eu também não me importo, desde que não sai na desvantagem, disse Pierre.
O pai lhes disse:
-Como assim ficar com menos? Eu não estou aumentando o número de ovos? Vamos ao que interessa: Leonard queria metade de 35 mas agora vai ganhar a metade de 36, evidentemente 18 ovos e por isso não tem do que reclamar, pois ganhou meio ovo! Isaac tinha direito a 1/3 dos 35, contudo vai ficar com 1/3 dos 36 que totalizam 12 ovos e também vai sair ganhando. E por fim Pierre, que também não vai sair perdendo, ficará com 1/9 dos 36 em vez de 1/9 dos 35, levando para si os 4 ovos que desde o início queria. Concordam com esta divisão?
Leonard disse:
Claro que sim pai! Afinal, todos nós saímos lucrando, pois recebemos mais do que nos cabia.
O pai lhes disse:
- Inclusive eu saí lucrando: 18 ovos do Leonard + 12 ovos do Isaac + 4 ovos do Pierre totalizam 34 ovos de páscoa. Dos 36 que tínhamos quando uni o meu ao de vocês restaram 2 para mim!!! Feliz Páscoa meus filhos, agora posso presentear a mãe de vocês e ainda assim comer um ovo de chocolate sozinho!!
- Vocês entenderam o que o pai fez? Perguntou Leonard.
- Bom, ele juntou o ovo de páscoa dele aos nossos e deste modo aumentou a parte de cada um na partilha, pois arredondou para mais nossas respectivas partes, respondeu Pierre.
- Como é possível então, ter sobrado dois ovos? Indagou Isaac.
Ao leitor que desconhece a solução, fica a sugestão de tentar responder a pergunta de Isaac.
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Solução do Problema dos Ovos de Páscoa
Vamos à explicação:
Inicialmente observe a soma de algumas frações:
1/2 + 1/2 = 2/2 = 1
O fato de a soma acima totalizar 1 significa que se você for dividir uma quantidade qualquer entre duas pessoas, de modo que uma fique com 1/2 e a outra também fique com 1/2 então não sobrará nada.
3/5 + 2/5 = 5/5 = 1
De modo semelhante, isto significa que se você for dividir uma quantidade qualquer entre duas pessoas, de modo que uma fique com 3/5 e a outra fique com 2/5 então não haverá sobra.
1/3 + 1/3 + 1/3 = 3/3 = 1
Pelo mesmo motivo, a soma acima nos diz que se você for dividir uma quantidade qualquer entre três pessoas, de modo que cada uma fique com 1/3então não sobrará nada.
1/2 + 3/7 + 1/14 = 14/14 = 1
Isto significa que se você for dividir uma quantidade qualquer entre três pessoas, de modo que uma fique com 1/2, outra fique com 3/7 e a outra fique com 1/14 então, assim como nos casos anteriores, não sobrará nada.
Agora observe o seguinte:
1/2 + 1/3 + 1/9 = 17/18
Isto significa que se você for dividir uma quantidade qualquer entre três pessoas, de modo que uma fique com 1/2, outra fique com 1/3 e a outra fique com 1/9 então sobrará alguma coisa, mais precisamente, sobrará 1/18 da quantidade!
Conclusão: como os rapazes estavam querendo dividir 35 ovos de modo que um ficasse com 1/2, o outro ficasse com 1/3 e outro com 1/9 então sobraria uma fração de 1/18 dos 35 ovos.
Isso já poderia ser verificado na primeira divisão proposta:
Metade de 35 é 17,5
Um terço de 35 é 11,66...
Um nono de 35 é 3,88...
Somando as três quantidades que cada um receberia obtemos33,055..., ou seja, estão sendo divididos 33,055... ovos de páscoa e não 35(1,944... ovos estão sobrando).
Em outras palavras: a divisão não seria exata, sobraria quase dois ovos! (na verdade, como já dissemos, a sobra seria de 1,944...).
Quando o pai dos rapazes aumenta em uma unidade a quantidade de ovos, a sobra passa a ser de 1/18 de 36. E esta sobra é de exatamente 2 ovos!
Em resumo: todo o aparente engano decorre do fato de, neste caso, a soma das partes não ser igual ao todo.
Referência:
A versão original do problema, que na verdade envolve 35 camelos, pode ser encontrada no capítulo 3 do livro O homem que Calculava, de Malba Tahan. Algumas edições traz nos apêndices uma explicação detalhada para o problema.
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